Изучение элементов математического анализа в курсе алгебры старшей школы 1. Основные линии курса алгебры и начал анализа и их реализация в действующих учебниках В курсе алгебры и начал анализа выделяют следующие содержательно-методические линии:  линия числа (систематизация сведений о действительных числах, комплексные числа);  линия функций (тригонометрические, обратные тригонометрические функции, показательная и логарифмическая, степенная функция, понятие обратной функции, общие свойства функций и схема исследования функции с помощью производной);  линия тождественных преобразований (тригонометрические выражения и тождества, степени, логарифмы);  линия уравнений и неравенств (тригонометрические, показательные, логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные уравнения, системы уравнений и неравенств, иррациональные неравенства, уравнения и неравенства с параметрами);  линия элементов анализа (понятие производной, техника дифференцирования, приложение производной к исследованию функций, геометрический смысл производной, первообразная, понятие предела последовательности и функции, теоремы о пределах, определенный интеграл, простейшие дифференциальные уравнения};  вероятностно-статистическая линия (основные понятия теории вероятностей — событие, вероятность, случайная величина; операции и свойства операций над событиями; основные теоремы теории вероятностей; закон распределения и функция распределения случайной величины; основные характеристики случайных величин). В этом перечне курсивом выделен тот материал, который включается в программу классов с расширенным и углубленным изучением математики. Прежде чем охарактеризовать особенности изложения учебного материала в различных учебниках алгебры и начал анализа федерального комплекта, необходимо отметить общие закономерности. Во-первых, более высокий уровень абстракции и логической организации изучаемого материала. Во-вторых, происходит переход изучения на уровень методов (методы дифференциального исчисления, векторный и координатный методы). В-третьих, происходит знакомство учащихся с фундаментальными понятиями математики (действительное число, предел последовательности, производная функции, определенный интеграл и др.). В-четвертых, завершаются основные линии школьного курса математики, что позволяет систематизировать, обобщить знания учеников. При этом появляются и новые линии (линия дифференциального и интегрального исчисления, например). В-пятых, средствами математики обеспечивается процесс формирования естественнонаучной картины мира, происходит усиление прикладной направленности школьного курса математики, математический аппарат широко используется в смежных дисциплинах. В-шестых, содержание ориентировано на подготовку к государственной аттестации, продолжение математического образования на различных уровнях в высшей школе, что, в частности, предполагает организацию активной самостоятельной познавательной деятельности при изучении старшеклассниками содержания. В учебнике А.Н. Колмогорова изучение элементов математического анализа предваряется накоплением материала, на основе которого вводятся основные понятия анализа и формируются умения по применению аппарата математического анализа для получения результатов. В этой логике пополняется запас функций (тригонометрические и обратные тригонометрические функции) и рассматриваются их свойства, повторяется и обобщается понятие функции, рассматриваются свойства, которые будут использоваться в дальнейшем. Изучение производной начинается с введения понятий приращения аргумента и приращения функции на основе известных ученикам из курса физики интерпретаций и вводного параграфа о понятии производной и касательной к графику функции. В нем раскрывается смысл идеи линеаризации — замены части гладкой кривой в окрестности точки х0 отрезком некоторой прямой l. Здесь же введено предварительное определение производной как углового коэффициента касательной и получены первые результаты — вычислена производная функции у = х2. Несмотря на очевидные преимущества такого способа введения понятия производной, приходится признать его некоторую громоздкость, создающую психологические трудности при восприятии и изучении этого материала учениками. Для осмысленного введения определения понятия производной учащимся предлагается набор упражнений на развитие навыков вычисления производной функции в точке на основе идеи линеаризации. После такой подготовительной работы вводится определение понятия производной абстрактно-дедуктивным способом, при этом в определении явно не употребляется термин «предел», но используется в записи определения производной функции f в точке х0: . На основе введенного определения производной решаются примеры на нахождение и доказательство формул дифференцирования некоторых элементарных функций. По опре¬делению производной также показано, что функция f(х) = х в точке х0 = 0 не имеет производной. В последующем доказываются правила вычисления производных (производная суммы, произведения, частного, сложной функции). Для доказательства формул дифференцирования тригонометрических функций предварительно на наглядно-интуитивной основе обосновывается первый замечательный предел. Существенное место отводится применению производной к приближенным вычислениям, геометрии и физике. В этом разделе обосновывается метод интервалов, выводится уравнение касательной к графику функции, иллюстрируется формула Лагранжа. На основе формулы получен ряд формул для приближенных вычислений, которые широко используются как в самом курсе, так и в курсе физики (например, при изучении электродинамики или световых явлений). Механический смысл производной выясняется при знакомстве с применением производной в физике и технике. Несомненным методическим достоинством этого пункта является обоснование уже известных учащимся правил дифференцирования на основе механического смысла производной, а также установление одного свойства параболы, имеющего применение в оптике. Завершает систематическое изучение темы раздел, в котором рассматриваются применения производной к исследованию функций. В этом разделе изучаются понятие критических точек, необходимый признак экстремума, достаточный признак возрастания (убывания) функции, наибольшее и наименьшее значения функции, а также приводятся примеры применения производной к исследованию функций и решения прикладных задач. В исторических сведениях к этому разделу приводится формула Тейлора. Она может стать основой для организации самостоятельной работы учащихся творческого характера. Тема «Первообразная и интеграл» начинается с изучения понятия первообразной на основе механических представлений. Далее устанавливаются ее основное свойство и правила нахождения. Эти знания позволяют подвести учащихся к решению важнейшей задачи — задачи о нахождении площади криволинейной трапеции как разности первообразных: S = F(а) - F(b). Понятие неопределенного интеграла не вводится. Понятие определенного интеграла рассматривается и вводится как некая альтернатива подходу к задаче вычисления площади криволинейной трапеции, рассмотренной ранее. Введение понятия определенного интеграла осуществляется на наглядно-интуитивной основе из геометрических соображений с привлечением формулы прямоугольников для приближенного вычисления интеграла. В сопоставительном плане на основе элементарных рассуждений получается формула Ньютона—Лейбница. В качестве приложений рассмотрено вычисление объемов тел (включая объемы тел вращения). Рассмотренное содержание элементов математического анализа используется далее при изучении свойств показательной и логарифмической функций, а также позволяет познакомиться с математическими моделями, которые описываются дифференциальными уравнениями показательного роста и показательного убывания. В учебнике Н.Я. Виленкина для классов с углубленным изучением математики есть все предпосылки для корректного введения понятия производной, т. е. на основе определения понятия предела функции в точке. Развитие и закрепление навыков отыскания производной по определению способствует лучшему уяснению как процедуры (алгоритма), так и сущности самого понятия. Весьма полезным является решение графических заданий, которые ориентированы на геометрический смысл производной функции в точке. Это обстоятельство позволяет учащимся лучше разобраться в сущности понятия дифференциала функции. Большинство теорем анализа, рассматриваемых в учебнике, доказывается. В дополнение к изучаемым свойствам функций рассматривается свойство выпуклости функции и соответствующие признаки. Качественно иной набор задач как математического, так и прикладного характера. Наличие у учеников знаний о производной и дифференциале позволяет сформулировать определение первообразной, форме F'(х) = f(х) или dF(х) = f(x) • dx. На этой основе вводится определение понятия неопределенного интеграла и соответствующего символа: . Опираясь на введенное определение, доказываются некоторые свойства неопределенного интеграла. Рассмотренные свойства, а также таблица основных интегралов, полученная с помощью таблицы дифференциалов функций, позволяют перейти к вычислению неопределенных интегралов. Логичным представляется изучение далее метода замены переменной. С помощью этого метода значительно расширяется класс функций, от которых можно вычислить неопределенный интеграл. Тема «Дифференциальные уравнения» формирует у учащихся первоначальные представления о математических моделях и соответствующем методе. Ученики знакомятся с понятийным аппаратом темы и некоторыми методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Заканчивается раздел изучением вопроса мировоззренческого характера – составление дифференциальных уравнений — и беседой о математических моделях и математическом моделировании. Изучение определенного интеграла предваряется аксиоматическим введением понятия площади и определением квадрируемой плоской фигуры. Далее рассматриваются площадь криволинейной трапеции, теорема Ньютона—Лейбница, физические и геометрические задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение понятия определенного интеграла следующее: , т. е. определенным интегралом называется разность значений первообразной для функции f в точках b и а. Эта формула называется формулой Ньютона—Лейбница. Завершается изучение интеграла решением задач на вычисление геометрических и физических величин с помощью определенного интеграла (вычисление объемов тел, площадей плоских фигур, механической работы, механической энергии, силы давления жидкости и т. д.) и рассмотрением формул приближенного вычисления определенного интеграла. Дальнейшее развитие линии анализа связано с изучением показательной и логарифмической функций, которые приводят к изучению дифференциального уравнения процессов органического изменения, а также к иллюстрации обоснования второго замечательного предела и сопутствующих вопросов. В учебнике Ш.А. Алимова предпринята попытка ввести понятие производной на содержательной основе через рассмотрение задачи на равнозамедленное движение. Производная функции вводится как предел разностного отношения, при этом смысл понятия предела не раскрывается. Определение не дается, вводится символ предела, составляется таблица производных, обосновываются правила дифференцирования, но не используется понятие сложной функции, не формулируется правило дифференцирования сложной функции, что приводит к большему числу ошибок при изучении данного материала школьниками, чем при изучении этого вопроса по учебнику А.Н. Колмогорова. В учебнике рассматривается геометрический смысл производной, но не обсуждается ее применение физике, кроме вводной задачи, и к приближенным вычислениям, что также может привести к определенным трудностям при изучении математики в высшей школе. Теоретический материал по применению производной к исследованию функций вводится без доказательства, ряд доказательств поясняется на примерах. В учебнике М.И. Башмакова во вводной беседе рассматривается механический смысл производной в историческом аспекте и ее геометрический смысл, что облегчает введение понятия производной с помощью предела, раскрывается смысл предельного перехода, обосновываются формулы дифференцирования. Вместо формулы производной сложной функции рассматривается теорема о линейной замене аргумента. Понятие сложной функции рассматривается в заключительной беседе по теме. Теория по исследованию функции приведена с обоснованиями, вводится понятие дифференциала и его приложения в физике. Кроме сложной функции, в заключительной беседе по теме рассматриваются линеаризация и гладкость функции, а весь теоретический материал имеет более выраженную прикладную направленность, чем в других учебниках. 2. Подходы к изучению действительных чисел в старшей школе Изучение темы «Действительные числа» в классах с углубленным изучением математики рекомендуется вести в логике учебника. В остальных случаях можно использовать схему изложения данного вопроса, приведенную ниже. Она явно избыточна, часть вопросов можно опустить, либо рассмотреть обзорно (сообщения учащихся, краткий рассказ учителя), либо рекомендовать для самостоятельного изучения о последующим представлением докладов или рефератов. Нам представляется целесообразным вести разговор о действительных числах либо при расширении понятия степей перед изучением показательной функции, поставив перед учениками вопрос, как вычислить или , либо в ходе итогового повторения курса алгебры и начал анализа. Разговор предваряется беседой учителя, в которой раскрывается процесс расширения понятия числа от натуральных до гиперкомплексных чисел на практике и в математике как науке. Важно подчеркнуть, что «историческая» и «научная» последовательности появления новых числовых множеств различны. Следует показать, что в каждом числовом множестве задаются действия с определенными свойствами, вводится отношение сравнения со своими свойствами, раскрываются причины введения новых числовых множеств, возникающие при этом приобретения и утраты. Демонстрация «одинаковости» устройства числовых множеств создаст основу для разговора об алгебраических структурах в конце изучения темы. В качестве дополнительного материала здесь могут быть использованы сообщения учащихся о трех знаменитых задачах древности (об удвоении куба, трисекции угла, квадратуре круга). Далее рассматривается вопрос о представлении натуральных целых рациональных чисел конечными или бесконечными периодическими десятичными дробями (например, , ) формулируется правило представления периодических дробей обыкновенными (текст правила и упражнения могут быть заимствованы из учебника Н.Я. Виленкина). После этого может быть введено определение действительного числа как бесконечной десятичной дроби, рассмотрен вопрос о приближении по недостатку и по избытку, сформулировано правило сравнения действительных чисел. Введение действий на множестве действительных чисел целесообразно показать на конкретном примере для сложения, поставив задачу определения четырех знаков суммы чисел х = = 1,23001... и у = 0,78044... . Рассматривается последовательность десятичных приближений х и у, и ученики видят, что при х5 = 1,23001, y5 = 0,78044, х'5 = 1,23002, у'5 = 0,78045 получаем 2,01045 ≤ х + у ≤ 2,01047, нужные десятичные знаки найдены. Далее делается вывод, что существует единственное действительное число, являющееся суммой двух данных (две последовательности приближений сходятся к единственному числу). Затем делается вывод, что другие действия вводятся аналогично. В качестве дополнительного материала учитель может познакомить школьников с построением числовых систем и с алгебраическими структурами на примерах числовых множеств (группами, кольцами, полями). 3. Методика изучения комплексных чисел в классах с углубленным изучением математики Из истории методики математики известно, что данная тема периодически включалась в программу базовой школы и исключалась из нее. Причины обращения к этой теме состоят в том, что ряд фактов элементарной математики связан с комплексными числами (тригонометрические формулы кратных аргументов, например); идея расширения числовых множеств получает логическое завершение; без комплексных чисел неубедительно выглядит в глазах школьника основная теорема алгебры. Кроме того, общеизвестно большое прикладное значение теории функций комплексной переменной (в аэродинамике, например), что особенно важно для тех учеников, чьей дальнейшее обучение и профессиональная деятельность будут связаны с приложениями математики. Существуют различные подходы к введению понятия комплексного числа. Первый: комплексное число — упорядоченная пара действительных чисел, которой на плоскости соответствует точка. Второй: символ вида а +bi , где a и b – действительные числа. Третий: вектор, соединяющий точку плоскости с началом координат и характеризующийся длиной и углом. В различное время в отечественной школе присутствовали первый и второй подходы. Второй можно признать неудачным, поскольку смысл символа непонятен, не ясно, что означает bi, какой смысл вкладывается в знак сложения, соединяющий действительное число и bi. Таким образом, предпочтительным следует признать первый подход. Содержание учебного материала темы традиционно: определение комплексного числа, действия с комплексными числами, тригонометрическая форма комплексного числа и различные приложения. Можно предложить следующие рекомендации к изучени. данной темы. Понятие комплексного числа следует ввести как пару действительных чисел, дав геометрическую интерпретацию, что сделает естественным появление мнимых чисел и восприятие действительного числа как комплексного. На этой основе вводятся аргумент и модуль комплексного числа, появляется мнимая единица. После этого вводятся действия и появляется алгебраическая форма комплексного числа, далее используется именно алгебраическая форма при введении сопряженных чисел, действий вычитания, деления, преобразовании выражений. Последний блок теоретического материала: тригонометрическая форма комплексного числа, формула Муавра, извлечение корней. Дополнительные упражнения по теме можно найти в учебнике Кочетковых, Алексеева (в факультативной книге). 4. Об изучении предела последовательности и предела функции в общеобразовательной и профильной школе Одним из центральных вопросов курса алгебры старшей школы является производная функции и ее приложения. Полноценное его изучение представляется неразумным вне знакомства хотя бы на описательном уровне с понятием предела функции. Предел функции, как и предел последовательности, являются фундаментальными понятиями математики. Кроме математического и прикладного значения они несут в себе и культурологическую нагрузку, поэтому знакомство с ними является необходимым ученикам, изучающим математику в рамках различных профилей в старшей школе. Изучение этого материала в школе можно рассматривать и как подготовительный этап для освоения этих понятий в курсах высшей математики. Особенно важно это для тех, кто будет изучать сокращенный курс высшей математики, в котором эти понятия рассматриваются формально, основное внимание уделяется решению задач на вычисление пределов. Можно предложить конкретно-индуктивный подход к введению понятий предела последовательности и предела функции. После актуализации понятия последовательности и способов задания последовательностей ученикам предлагаются такие примеры последовательностей: Изобразив элементы данных последовательностей на координатных прямых, учитель отмечает, что все элементы первой последовательности «садятся» в точку 1 и в любой окрестности данной точки будут находиться все элементы данной последовательности. Для второй последовательности все элементы с четными номерами попадают в точку 2, а с нечетными — в точку -2, и в каждом случае найдутся окрестности этих двух точек, вне которых будет находиться бесконечно много элементов последовательности. Аналогично и для четвертой последовательности: у каждого нечетного числа найдется окрестность, вне которой будет находиться бесконечно много элементов последовательности. Самым важным примером является последовательность . Понятно, что с увеличением номера элемента уменьшается расстояние между этим элементом и нулем. Чем ближе к нулю, тем теснее располагаются элементы последовательности на координатной прямой, постепенно уменьшается расстояние между ними. Кроме того, понятно, что, выбрав какую-либо окрестность нуля, можно определить номер элемента, начиная с которого все элементы последовательности попадают в выбранную окрестность (например, для окрестности радиуса 0,01 — это все элементы, начиная со 101-го, для окрестности радиуса 0,000001 – все элементы с 1000001-го т. д.). В любой окрестности числа 0 будет находиться бесконечно много элементов последовательности. Аналогичная ситуация и в пятом примере, где элементы будут приближаться к нулю с двух сторон: все элементы с четными номерами справа, с нечетными — слева. Показав эти закономерности, учитель может сформулировать окрестностное определение предела последовательности, ввести символику и записать: С помощью последнего примера , предварительно представив правую часть в виде , учитель иллюстрирует теоремы о пределах суммы, константы, вынесение числового множителя за знак предела, а также формулирует и записывает теоремы о пределе произведения и частного. В достаточно подготовленных классах учитель может переформулировать окрестностное определение на языке , показать основную идею доказательства теорем о пределах — оценку составленных по определению предела неравенств, привести примеры вычисления пределов, ввести число . На основании полученных знаний учитель затем вводит окрестностное определение предела функции в точке. Для этого можно использовать, например, график следующей функции (рис. 93): С помощью графика данной функции учитель иллюстрирует окрестностное определение предела функции в точке (для подготовленной аудитории возможно использование языка ). Для этого выбирается несколько точек, например х = -2, х = -1, х = 0, х = 1, х = 3. В первом случае с помощью графика учитель показывает, что, выбрав на оси оу какую-либо окрестность точки 4, удается с ее помощью найти на оси ох окрестность точки -2 такую, что значения функции от всех элементов из этой окрестности попадают в выбранную окрестность точки 4. Следовательно, по мере приближения значений аргумента к х = -2 слева и справа значения функции приближаются к у = 4. Это число является пределом функции в данной точке, при этом пишут . Аналогичная ситуация наблюдается и для x = -1, x = 0, x = 1, но в первом и третьем случае это условие выполняется для всех точек, кроме х = -1 и х = 1 соответственно, при этом в точке х = -1 функция не определена, но предел существует, а в точке х = 1 предел функции не совпадает с ее значением. После чего формулируется определение предела функции в точке х0, ограничение в определении (при ) было обосновано. В точке х = 2 существуют только односторонние пределы, на это следует обратить внимание учеников. Данные понятия понадобятся при построении графиков разрывных функций. С помощью данной функции также вводятся понятия непрерывной в точке и на интервале функции, разрывной функции. Можно познакомить учеников с понятиями устранимого и неустранимого разрывов, сформулировать теорему о непрерывности дробно-рациональной функции на ее области определения. На основе аналогии формулируются теоремы о пределе суммы, произведения, частного, которые не доказываются, а также приводятся примеры замечательных пределов (они потребуются при вычислении производной функции синус). Упражнения посвящены повторению метода интервалов, исследованию функции элементарными средствами, построению графиков, повторению других вопросов. В классах математического профиля, несмотря на более высокий уровень математической подготовки учеников, вполне возможна рассмотренная выше схема введения понятий предела числовой последовательности и предела функции в точке. В дополнение можно рассмотреть определение предела функции в точке по Гейне на языке числовых последовательностей с рассмотрением ряда примеров. Определение. Пусть функция / определена на некоторой проколотой окрестности точки . Число А называется пределом функции f в точке х0 (или при х, стремящемся к х0), если для любой последовательности , п = 1, 2, ... , сходящейся к точке х0 (т. е. ), соответствующая последовательность {f(хп)} сходится к числу А, т. е. верно равенство . При этом пишут . В каком-то смысле это определение предела функции в точке более естественно, чем определение на языке , широко распространенное в учебниках и методических рекомендациях. Если допустить введение определения предела функции в точке на языке числовых последовательностей, то обнаруживается и логическая, и дидактическая целесообразность такого методического подхода. Действительно, к моменту изучения понятия предела функции в точке учащиеся уже знают определение предела числовой последовательности и имеют некоторые навыки вычисления пределов. Поэтому на основе легко просматриваемой генетической связи понятий предела числовой последовательности и предела функции в точке можно построить весьма эффективную методику изучения этого раздела. Сложившаяся же практика обучения, в силу ряда причин, ориентирована на использование языка . Объяснение этому может быть найдено в широте применений понятия предела функции в точке на языке в сфере прикладных вопросов. В определении предела функции в точке на языке числовых последовательностей (как, впрочем, и на языке ) «прописан» алгоритм, который надо реализовать, чтобы установить факт существования предела функции в данной точке. Рассмотрим элементы методики работы с примерами на применение определения предела функции в точке по Гейне.